Définition
Définition d'un difféomorphisme :
- soit \(f:U\to V\)
- \(f\) est \(\mathcal C^1\) sur \(U\)
- \(f\) est inversible et \(f^{-1}\) est \(\mathcal C^1\) sur \(V\)
$$\Huge\iff$$
- on dit que \(f\) est un difféomorphisme
[!Warning] Contre-exemple
\(f(x)={{x^3}}\) est un homéomorphisme sur \({\Bbb R}\) mais pas un difféomorphisme.
Propriétés
Liens avec la différentielle
Différentiabilité (Différentielle d'un inverse)
Lien avec la monotonie
Proposition :
Toute fonction inversible sur un ensemble est monotone sur cet ensemble
Exemples
[!Example] Exemple de fonction qui est un difféomorphisme local au voisinage de tout point, mais qui n'est pas un difféomorphisme global : $${{f(x,y)=(x^2-y^2,2xy)}}$$
